4 3 2 1 0 z ä, C p /Nk B 0102030405060708090 j jø oj w> . 結晶中において原子は周期的に並んでおり、原子は平衡位置周りに熱振動する。周期性より、ブロッホの定理を満たす(ブロッホ電子との類似性)。, 簡単な格子のモデルとして、同じ原子が一次元的に並んだ系を考える。それぞれの原子は、ばね定数kののばねでつながっている。原子間の間隔はaである。, となる。いくつか重要な性質がある。まず第一に、ωに上限があることである。また、k方向について、左右対称である(右に進む波と左に進む波のエネルギーが等しい)。k~0(長波長極限)で、, このような周期性は、電子系を考えたときにもみられた。一般に、実空間で周期的(周期a)な系は、逆格子空間(k空間)では周期2π/aで周期的であることが知られている。, k空間での周期の単位(単位胞)をブリルアンゾーンと呼ぶ。k=0を中心とするブリルアンゾーンを第一ブリルアンゾーンという。k=0と等価な点k=(2π/a)nの集まりが逆格子である。, となる。フォノンは、離散的な量子振動である(結晶内に広がった波のエネルギーの量子化)。ωはkに依存し、先ほど古典論で求めた分散関係を用いることができる。各格子波は相互作用がなく、ぶつかっても互いに無関係に行違う。フォノンの運動量は、結晶運動量kを用いて, 2種の原子が交互にならんでおり、異なるばね定数k_1とk_2でつながっている(k_1>k_2とする)。単位胞は上図で示すように、2つの原子を含むようにとれる。周期をaとする。簡単のため、以下で2種の原子の質量が同じと仮定し、m_1=m_2=mとおく。, A_x, A_yがゼロでない解をとるためには、行列式がゼロである必要がある(永年方程式)。ωについて解くと、分散関係, この場合も k → k+2π/a で周期的である。2原子の場合は2本の分散関係が得られる。それぞれ光学モード、音響モードと呼ばれる。光(photon)との相互作用は、photonとphononのエネルギーと運動量が一致する場合に起きる。(光速は音速より速いので)photonの分散関係 ω=ck >> vk より、光学モードとしか相互作用しない。, を得る。つまり、k=0付近で、音響モードは同じ方向に変位する(長い波長をもつ)が、光学モードは逆方向に変位する。2種の原子が+とーの電荷をもっているとすると、光学モードでは電気双極子モーメントの波が誘起されることになる。, k_1 =k_2 のときは、前述した1種の原子の場合に帰着するはずである。これを分散関係で確認しよう。, k_1 =k_2 のときは、k=±(π/a)のギャップがなくなることに気づく。光学モードを外側に折り返す。, 周期がaからa/2の半分になるのを考慮すると、第一ブリルアンゾーンは二倍になって、|k| ≦ 2π/a となる。, となっており、伝搬できない定常波の状態となっている。これは電子系のブリルアンゾーンの場合と同様にブラッグ条件を満たしている。, なお、3次元結晶の場合には、3次元自由度と対応して、1つの縦波と2つの横波がある。つまり、3個の音響ブランチが存在する。, 格子による比熱を考える。歴史的には、1819年にDulong-Petitの法則が見出された。それによると、比熱Cは1原子あたり, である。室温では結構成り立つことが知られている。しかしながら、明らかに温度変化しない式である。実際には、低温で、比熱は減少する。1896(1871? このことが比熱\(c\)の値と深く関係しています。 運動量と位置の2次関数の数が\(f\)個あれば、比熱が\(c=\frac{7}{2}k_B\)となるわけです。 本当にそうなるのかを分配関数\(Z\)から比熱を計算してみましょう。 比熱の次元解析について 学校の実習で比熱の次元解析をせよという問題がだされました。ヒントとしてq=cmtが提示されました。mtlkを使えともいわれました。なにがなんだかわかりません(-_-;)どなたか解説 … なお、3次元結晶の場合には、3次元自由度と対応して、1つの縦波と2つの横波がある。つまり、3個の音響ブランチが存在する。 (2)結晶の熱的性質. )年に、ボルツマンが、調和振動子のモデルを使って、Dulong-Petitの法則を説明した。, 1907年に、アインシュタインが低温での比熱を説明するために、量子力学を使って調和振動子モデルを考えた。(つまり、低温での比熱のふるまいは量子力学を使って理解される。), と求まる。最終式の第一項は、ボーズ分布関数である。波に平均何個のフォノンがいるかを表している。, 高温で、β→0として、C→k_Bを得る。これは(1次元の場合の)Dulong-Petiの法則を再現する。これは高温では、エネルギー準位の間隔hωよりも熱エネルギーが十分大きくなるため古典的な場合に近づくと解釈できる。, となる。高温で、3k_Bになり、Dulong-Petitの法則を再現する。また、低温では、β→∞として、指数関数的に0に向かうことがわかる。これはエネルギー準位の間隔より熱エネルギーが小さくなり、熱励起できなくなるからである。しかし実験的には、T^3に比例して減少することが知られており、実験と合わない。これは原子の振動が波として伝わる(格子振動)ことを無視しているためである。, 低温での格子比熱の振る舞いを正しく説明するのがDebyeモデルである(1912年 Peter Debye)。Einsteinモデルでは、ωは一定としたが、Debyeモデルでは、kに依存するとする。特に、原子の振動は音波なので、, の形をとるとする(光学モードは考えない)。3次元なので、縦波1つ+横波2つの計3つの自由度がある。, Einsteinモデルでの1つの格子波がもつ平均エネルギー(3次元)は、群速度vを同じとして3倍すると, である(n_Bはボーズ分布関数)。全ての波について足し上げれば全エネルギーになり、ωがkに依存することを考慮すると、, ここで波の数を勘定している。ωはkベクトルの大きさ(kとおく)にしか依存しないので、極座標を使う。, である。g(ω)の意味(⇒状態密度)については、後で考える。まずは、計算を継続し、比熱の式を出す。, これで低温比熱の温度依存性が説明されたわけで一件落着に見えるが、今度は、高温でのDulong-Petitの法則(C ~ 3k_B N (一定値))が成り立たない。実際、上式では、比熱は温度を上げると発散していく。, そこで、ωに上限を与えることを考える。自由度の数は、原子数×3であることを考慮して、, とし、∞までとっていた積分の上限をω_cutoffで制限する(g(ω)は状態密度)。つまり、修正したエネルギー期待値は、, である。上限が∞でないと、先ほどの比熱の計算における積分計算が実行できない(簡単にはならない)ように思える。しかし、低温においては、ωからxへの変数変換, した際に、xの積分の上限が非常に大きくなるため、近似的に∞までの積分として扱える。よって、低温では先ほどの計算は近似的に正しい。, このようにデバイモデルは、実験的に求められた低温と高温の格子比熱をよく説明する。低温でT^3則に従うことは、直感的には、熱エネルギー(k_B T)以下のエネルギー(振動数)をもつフォノンの数(「生きている」フォノンの数)がT^3に比例するためと理解できる。つまり、, また、金属においては、電子比熱の寄与もあるため、実験と合わないことが知られている。③の中間温度での比熱の理論的取り扱いについては、この本に詳細な注意がある。, 格子比熱については、歴史的な経緯もふくめて、『The Oxford Solid State Physics』に詳しい。, この節では、非調和効果を考える。非調和効果とは、調和振動子の近似では記述できない場合である。ひらたく言えば、調和振動子のポテンシャルは, のように二乗の形で書けるが、ここにx^3とかx^4とか高次の項が入ってくる場合のことである。, 非調和効果は、結晶の熱膨張や、弾性定数の温度・圧力依存性などを説明することが知られている。また、調和近似においては、2つの格子波は互いに作用しないので、フォノンは無限の寿命をもつ。よって熱伝導は無限大になってしまうが、非調和項があることにより有限の値に制限される。, がある。αは通常、10^-5 [K^-1]くらいの大きさである。また、等方的なときはα=β/3である。, を考える。第二項が非調和項に相当する。非調和項は調和項に比べると小さいと仮定する。, となる。ここで、非調和項が十分小さいと仮定して変形した。また、最後の式を求めるところでは、奇関数の積分がゼロになることを使った。また、分子は、, よって温度に比例しては大きくなる。調和項しかない(g=0)場合は、熱膨張はゼロになることがわかる。また、4次の項fx^4があっても、奇関数の積分はゼロなので、効かない。xに対して非対称なポテンシャル(~x^3)によって、振動の中心がずれていくことにより、はゼロでない値をとると考えることができる。, Merritt(2004)の計算続き:Gondolo & Silk (1999)を読む. ここで熱量に使われているJ(ジュール)という単位について、定義を確認しておきましょう。 【理想気体の比熱の温度依存性(4)】古典近似から2原子分子の比熱を求める。 【理想気体の比熱の温度依存性(5)】2原子分子の回転の運動にもエネルギーが等分配されているのか。 量子論(+統計力学)での比熱の取り扱いと正しい理解 ー)で表されます。, - 熱量、比熱、熱容量 3つの概念, ドルトンの法則、グレアムの法則, - 温度が高くなるということは体積が増加するということ, - 場合分けが必要な『気体の比熱』. 熱量; 比熱; 熱容量. 熱量. F 2 Rn ArKr Xe HeNe H 2 Cl 2 O 2 N 2 T = 25 ¼C 図3.1 気体の比熱。室温(25 C) における定圧比熱Cp=NkB の実験値[1,2]。気体では Cp = Cv + NkB に注意せよ。 固体の比熱 次に、固体の比熱の実験値を、図3.2 に示す。 熱量とは、物体間でのエネルギーの流れ、すなわち熱の量を数値化したものです。記号は\(Q\)(heat QuantityのQ)、単位はJ(ジュール)を用います。 ジュールとは. Ëj ü w> . K)である。, calという単位は、現在、標準単位系ではなく、栄養学などの分野で歴史的遺物として取り扱われるものであり、J を用いることが推奨される。, https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=比熱容量&oldid=78117679. 固体の比熱について色々な理論に基づいた結果が独り歩きしていて、少し混乱しているのではないでしょうか?このブログでも別記事で、1モルあたりの固体の比熱(熱容量)は3r(rは気体定数)となるという古典統計力学の結果を説明をしています。でも実際はそんな単純なものではありません。 比熱容量(ひねつようりょう、英語:specific heat capacity)とは、圧力または体積一定の条件で、単位質量の物質を単位温度上げるのに必要な熱量のこと。 単位は J kg −1 K −1 もしくは J g −1 K −1 が用いられる。 水の比熱容量(18℃)は、1 cal g −1 K −1 = 4.184 × 10 3 J kg −1 K −1 である F2 Ë j ü w > . 4 3 2 1 0 ä 0 , C p /Nk B 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 j j ø o j w > .

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